Mapa de 3 variáveis

Um mapa de Karnaugh de 3 variáveis é obtido dividindo-se cada célula do mapa de 2 variáveis ao meio. Assim cada bloco divido terá uma célula correspondente à variável (V=1) e uma célula correspondente ao complemento da variável (V=0). Abaixo está representado um mapa cujas variáveis de entrada são A,B,C.
 

Agora verificamos que o conjunto correspondente aos estados de cada variável são compostos de 4 células.

O conjunto de A', isto é, onde A=0

O conjunto de A, isto é, onde A=1

O conjunto de B', isto é, onde B=0

O conjunto de B, isto é, onde B=1

O conjunto de C, isto é, onde C=1

O conjunto de C', isto é, onde C=0

Deve-se observar o detalhe de que o bloco de quatro células correspondente a C' está dividido em dois blocos de 2 células, mas pode ser agrupado ao se fazer a simplificação da expressão booleana.
 

Além dos agrupamentos em blocos de 4 células, podemos obter simplificações pelo agrupamento de 2 células.

Bloco A'B'

Bloco A'B

Bloco AB'

Bloco B'C'

Bloco BC

Bloco A'C

Bloco AC'

Existem mais 5 blocos de duas células que o aluno deverá identificar: AB, B'C, BC', A'C' e AC.

 

Bloco ABC'

Exemplo de Aplicação

Vejamos um exemplo: Identificadores de números primos de 0 a 7.

Inicialmente montaremos a Tabela Verdade.
 

A expressão lógica da saída, S, em função das entradas A, B, C, é:

                                                S = A'B'C + A'BC + AB'C + ABC

Devemos, agora, usar o mapa de Karnaugh para simplificar a expressão lógica do identificador de números primos:
 

Podemos formar 3 grupos de duas células, a saber:

                                                A'BC + A'BC' = A'B        - Células verde e azul
                                                AB'C + ABC = AC          - Células vermelha e amarela
                                                A'BC + ABC = BC          - Células verde e amarela

Assim podemos escrever a expressão simplificada da saída como:

                                                S = A'B + AC + BC
 

O terceiro termo, BC, foi obtido da simplificação dos mintermos AB'C e ABC, os quais já estão presentes nos outros dois termos, A'B e AC, portanto BC é um termo desnecessário, podendo a expressão final da saída ser escrita como:

                                                S = A'B + AC.
 
 

O circuito digital simplificado do identificador de números primos é o da figura abaixo. Faça a tabela verdade deste circuito e verifique que coincide com a primeira tabela verdade que foi feita neste exemplo.

Mapa de 4 variáveis

Um mapa de Karnaugh de 4 variáveis é obtido dividindo-se cada célula do mapa de 3 variáveis ao meio. Assim cada bloco divido terá uma célula correspondente à variável (V=1) e uma célula correspondente ao complemento da variável (V=0). Abaixo está representado um mapa cujas variáveis de entrada são A,B,C,D. Os estados das variáveis são escritos dentro de cada célula na ordem ABCD.
 

Verifique que a célula ABC' foi dividida em duas novas células ABC'D' e ABC'D, identificadas acima como 1100 e 1101 respectivamente. Identifique as outras 14 células correspondem às outras 14 possíveis combinações das variáveis A, B, C, D.
 

As simplificações utilizando o mapa de 4 variáveis são feitas por agrupamentos de células que contêm S=1 em números de 8, 4, 2 e 1 células. Abaixo são mostrados exemplos de grupos de 8, 4 e 2 células.

S = B

S = BD + B'D'

O grupo BD corresponde às 4 células do centro do mapa (azul), enquanto o grupo B'D' corresponde às 4 células dos cantos do mapa (verde).
 

S = A'BD' + ACD        - Grupos verde e azul respectivamente

Exemplos

Vejamos 3 exemplos:

Os mapas correspondentes às saídas S1, S2, S3 são:
 

                                        S1 = D + AC' + A'B'C

O primeiro termo, D, corresponde às células de fundo amarelo. O segundo termo corresponde aos números verdes e o terceiro termo corresponde aos números vermelhos.
 
 
 

                                        S2 = A'B + A'D + BCD

Os três termos correspondem respectivamente aos grupos de números vermelhos, células de fundo amarelo e números sublinhados.
 
 
 
 

                                        S3 = B'D' + A'BC' + AB'C' + BCD

Os quatro termos correspondem respectivamente aos grupos de células de fundo cinza, células de fundo verde, números vermelhos e células de fundo azul.
 

Exercício
 

1) Escrever as expressões lógicas das saídas S1, S2, S3, anteriores às simplificações.

2) Desenhar os circuitos lógicos correspondentes às expressões S1, S2 e S3 simplificadas.