Álgebra de Boole
 
 




Introdução
 

        A álgebra booleana, como qualquer outro sistema matemático dedutível, pode ser definido como um conjunto de elementos, um conjunto de operadores, e um número de axiomas, ou postulados, não provados.

        Os postulados de um sistema matemático são as suposições, ou considerações básicas a partir das quais é possível se deduzirem as regras, os teoremas, e as propriedades do sistema. Os postulados mais comuns usados para se formularem várias estrutruras algébricas são:
 
 
1 Fechamento: a * b = c a,b,c Î S
2 Lei Associativa: (a * b) * c = a * (b * c) a,b,c Î S
3 Lei Comutativa: a * b = b * a a,b Î S
4 Elemento Identidade: e * a = a * e = a a Î S
5 Inversa: a * b = e a,b Î S
6 Lei Distributiva: a * (b # c) = (a * b) # (a * c) a,b,c Î S

        Um exemplo de estrutura algébrica é um corpo (field). Um corpo é um conjunto de elementos, juntamente com dois operadores binários, cada um atendendo as 5 primeiras leis, e os dois combinados para atender a 6a .

        A álgebra de Boole é uma estrutura algébrica definida sobre um conjunto B de elementos, juntamente com dois operadores + e · tal que os seguintes postulados (de Huntington) sejam satisfeitos:
 
 
 

1 a fechamento em relação ao operador +;
      b fechamento em relação ao operador · ;

2 a um elemento identidade em relação a + , designado por 0;
      b um elemento identidade em relação a · , designado por 1;

3 a Lei comutativa em relação a +;
      b Lei comutativa em relação a · ;

4 a · é distributiva em relação a + : a· (b+c) = a· b + a· b;
      b + é distributiva em relação a · : a+(b· c) = a+b · a+b;

5 para todo elemento a Î B, existe um elemento a Î B (chamado complemento de a)
      tal que: (a) a + a = 1 e (b) a · a = 0 ;

6 Existem pelo menos dois elemntos a, b Î B tal que a ¹ b.


 
 

        Como a álgebra de Boole lembra a ágebra dos números reais, os símbolos + e · foram escolhidos para representar seus operadores apenas por atuarem de forma parecida à dos operadores de soma e multiplicação da álgebra real. Na álgebra de Boole só existem dois elementos, que pelo motivo de lembrar a álgebra dos números reais, foram escolhidos 0 e 1.
 
 


Operadores utilizados na Álgebra de Boole:

                     +              adição, união, operação lógica OU
                    ·             multiplicação, interseção, operação lógica E

Elementos utilizados na Ágebra de Boole:

                    0                nível lógico zero, negativo, desligado
                    1                nível lógico um, afirmativo, ligado



 
 

Postulados e teoremas da Álgebra de Boole
 
 
 
  Caso (a) Caso (b)
Postulado 2 a + 0 = a a · 1 = a
Postulado 5 a + a = 1 a · a = 0
Teorema 1 a + a = a a · a = a
Teorema 2 a + 1 = 1 a · 0 = 0
Teorema 3, involução (a) = a (a) = a
Postulado 3, comutativo a + b = b + a a · b = b · a
Teorema 4, associativo a + (b+c) = (a+b) + c a · (b· c) = (a · b) · c
Postulado 4, distributivo a · (b+c) = (a · b)+(a · c) a+(b · c) = (a+b) · (a+c)
Teorema 5, DeMorgan (a + b) = a · b (a · b) = a + b
Teorema 6, absorção a + (a · b) = a a · (a + b) = a
Teorema 7 a + (a · b) = a + b a · (a + b) = a · b
Teorema 8 a + (a · b) = a + b a · (a + b) = a · b

 

        Verifica-se que os postulados e teoremas são duais, isto é, existem sempre os casos (a) e (b) que são simétricos. No caso (a), onde se escreve + , · , 0 , 1, no caso (b) correspondente, escreve-se · , + , 1 , 0 , respectivamente.

        Os teoremas 6 e 7 são derivados dos postulados e teoremas anteriores, mas devem ser citados no quadro por facilitarem as simplificações de várias expressões lógicas.

        Nas demonstrações que se seguem, serão utilizados parênteses apenas sobre as operações + , desde que assume-se que o operador · tem precedência sobre o + . Serão utilizadas as letras P para postulado, e T para teorema.
 
 




Demonstrações
 

Demonstração do teorema 6 (a):

                                            a + a· b =
                                                            = a· 1 + a· b                             (P2)

                                                            = a· (b + b) + a· b                   (P5)

                                                            = a· b + a· b + a· b                 (P4)

                                                            = (a· b + a· b) + a· b              (P3)

                                                            = a· b + a· b                            (T1)

                                                            = a· (b + b)                              (P4)

                                                            = a· 1                                        (P5)

                                                            = a                                             (P2)
 
 

Demonstração do teorema 6 (b):

                                        a · (a + b) =

                                                            = a· a + a· b                             (P4)

                                                            = a + a· b                                 (T1)

                                                            = a                                            (P6.a)
 
 

Demonstração do teorema 7 (a):
 

                                            a + a· b =

                                                            = a· 1 + a· b                               (P2)

                                                            = a· (b + b) + a· b                     (P5)

                                                            = a· b + a· b + a· b                   (P4)

                                                            = a· b + a· b + a· b + a· b        (T1)

                                                            = a· b + a· b + a· b + a· b        (P3)

                                                            = a· (b + b) + (a + a)· b            (P4)

                                                            = a· 1 + 1· b                                (P5)

                                                            = a + b                                           (P2)
 
 

Demonstração do teorema 7 (b):
 

                                        a · (a + b) =

                                                            = a· a + a· b                              (P4)

                                                            = 0 + a· b                                    (P5)

                                                            = a· b                                          (P2)
 
 
 

As demonstrações dos teoremas 8 seguem as demonstrações dos teoremas 7.
Da mesma forma como foram feitas as demonstrações dos teoremas 6 e 7, outras identidades podem ser demonstradas.



Exemplo:

Demosntrar que são equivalentes as expressões:                                                             S1 = A· B + A· C + B· C

                                                            S2 = A· B + C
 
 

                                                            A· B + A· C + B· C =

                                                                                                = A· B + (A + B)· C     (P4)

                                                                                                = A· B + (A· B) · C      (T5)

                                                                                                = A· B + C                      (T7)
 
 





Bibliografia
 

[1] M. Morris Mano, Digital Design, Prentice Hall, 2ed., 1991

[2] I.V. Idoeta & F.G. Capuano, Elementos de Eletrônica Digital, Érica, 6 ed. 1984
 
 


João Giacomin DCC UFLA 23/03/2001